Esercizi per l’Appendice 4
Contents
Esercizi per l’Appendice 4¶
Esercizio A4.1¶
Si scriva un programma che generi una sequenza di coppie di misure indipendenti (xi, yi ),
generate in modo che, per ogni xi,
yi = g (xi, θ) + εi,
essendo εi numeri pseudo-casuali distribuiti secondo una distribuzione di probabilita’ Gaussiana
centata in 0 e con sigma arbitraria.
Si utilizzi come funzione g la retta: g(x,θ) = θ1+θ2x
Si faccia in modo che il programma legga da linea di comando il valore della sigma della Gaussiana ed il numero di coppie da generare.
Esercizio A4.2¶
Si aggiunga al programma precedente un algoritmo di regressione lineare che, a partire dai punti generati, determini una stima dei parametri θ1 e θ2 con il metodo dei minimi quadrati, utilizzando l’espressione analitica tipica del caso lineare.
A scelta si sfruttino la libreria algebrica esistente algebra_2.h e algebra_2.cc, si implementi la propria libreria, oppure se ne trovi una equivanente utilizzabile.
Si scriva a schermo il risultato della regressione, sia in termini di valore centrale che di incertezza.
Fino a che numero di coppie di punti genrati l’algoritmo funziona in tempi ragionevoli?
Esercizio A4.4¶
Si inserisca il processo di generazione di coppie di eventi pseudo-casuali in un ciclo di simulazione di toy experiment.
Si generi la distribuzione di densita’ di probabilita’ delle stime θ1 e θ2 e si verifichi se il loro stimatore sia o meno distorto.
Si generi la distribuzione di densita’ di probabilita’ di Q2min
Si salvino tutti questi istogrammi in un file di tipo
.rootSi confronti la distribuzione di Q2min con la distribuzione di probabilita’ f(x) = Χ2(x, N-k), essendo N il numero di punti xi, yi ) e k il numero di parametri θj ricavati dal fit.
Esercizio A4.5¶
Si ripeta l’esercizio precedente utilizzando una distribuzione di probabilita’ uniforme per generare gli scarti εi.
Si determini se lo stimatore dei parametri θj sia o meno distorto.
Si confronti la distribuzione di Q2min con la distribuzione di probabilita’ f(x) = Χ2(x, N-k), essendo N il numero di punti xi, yi ) e k il numero di parametri θj ricavati dal fit.
Esercizio A4.6¶
Si modifichi il risultato dell’Esercizio A4.4 in modo che il fit venga effettuato utilizzando una matrice unitaria in vece della matrice di covarianza dei valori yi e si determini quindi il valore della loro sigma a partire dall’ipotesi che gli scarti siano distribuiti secondo una densita’ di probabilita’ Gaussiana.